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Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f$ un endomorphisme de $E$ et $A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ la matrice de $f$ dans une base orthonormale donnée $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ de $E$. Pour $i,j\in\left\{1,...,n\right\}$, exprimer $a_{ij}$ en fonction de $f$ et des vecteurs $e_i$ et $e_j$.

Soient $A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)$ et $S=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}$.

Montrer qu’il existe $u\in E$ tel que $S=(u\vert f(u))$.

En déduire que $|S|\le n$.