1
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) la matrice de \(f\) dans une base orthonormale donnée \(\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)\) de \(E\). Pour \(i,j\in\left\{1,...,n\right\}\), exprimer \(a_{ij}\) en fonction de \(f\) et des vecteurs \(e_i\) et \(e_j\).
2
Soient \(A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)\) et \(S=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}\).
3
Montrer qu’il existe \(u\in E\) tel que \(S=(u\vert f(u))\).
4
En déduire que \(|S|\le n\).