Supposons qu’il existe $g\in\mathcal{L}(E)$ tel que $\mathrm{rg}(f\circ g - g\circ f) = 1$ . Alors il existe $\ell\in E^*$ et $a\in E$ tous deux non nuls tels que : $\forall\ x\in E,\ f(g(x)) - g(f(x)) = \ell(x)a.$ D’où par récurrence sur $k$ : $\forall\ x\in E,\ f^k(g(x)) - g(f^k(x)) = \ell(x)f^{k-1}(a) + \ell(f(x))f^{k-2}(a) + \dots + \ell(f^{k-1}(x))a.$

Comme $\chi_f$ est irréductible, le sous-espace $f$ -monogène engendré par $a$ est égal à $E$ , soit : $(a,f(a),\dots,f^{n-1}(a))$ est une base de $E$ avec $n=\dim E$ et $f^n(a) = \alpha_0a + \dots + \alpha_{n-1}f^{n-1}(a)$ . Alors $\mu_f(f) = f^n-\alpha_{n-1}f^{n-1} - \dots - \alpha_0f^0 = 0$ et : $\forall\ x\in E,\ 0 = \mu_f(f)(g(x)) - g(\mu_f(f)(x)) = \ell(x)f^{n-1}(a) + \dots + \ell(f^{n-1}(x) - \dots - \alpha_1x)a.$ Ceci implique $\ell(x) = 0$ pour tout $x$ , en contradiction avec l’hypothèse $\mathrm{rg}(f\circ g - g\circ f) = 1$ .

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