Supposons qu’il existe \(g\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(\mathrm{rg}(f\circ g - g\circ f) = 1\). Alors il existe \(\ell\in E^*\) et \(a\in E\) tous deux non nuls tels que : \[\forall\ x\in E,\ f(g(x)) - g(f(x)) = \ell(x)a.\] D’où par récurrence sur \(k\) : \[\forall\ x\in E,\ f^k(g(x)) - g(f^k(x)) = \ell(x)f^{k-1}(a) + \ell(f(x))f^{k-2}(a) + \dots + \ell(f^{k-1}(x))a.\]

Comme \(\chi_f\) est irréductible, le sous-espace \(f\)-monogène engendré par \(a\) est égal à \(E\), soit : \((a,f(a),\dots,f^{n-1}(a))\) est une base de \(E\) avec \(n=\dim E\) et \(f^n(a) = \alpha_0a + \dots + \alpha_{n-1}f^{n-1}(a)\). Alors \(\mu_f(f) = f^n-\alpha_{n-1}f^{n-1} - \dots - \alpha_0f^0 = 0\) et : \[\forall\ x\in E,\ 0 = \mu_f(f)(g(x)) - g(\mu_f(f)(x)) = \ell(x)f^{n-1}(a) + \dots + \ell(f^{n-1}(x) - \dots - \alpha_1x)a.\] Ceci implique \(\ell(x) = 0\) pour tout \(x\), en contradiction avec l’hypothèse \(\mathrm{rg}(f\circ g - g\circ f) = 1\).

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