Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) et \(Q_i = Q(X+i)\) (\(0 \le i \le n\)).
1
Montrer que \((Q,Q',Q'',\dots,Q^{(n)})\) est libre.
2
Montrer que toute forme linéaire sur \(E\) peut se mettre sous la forme :
\(f : P \mapsto \alpha_0 P(0) + \alpha_1 P'(0) + \dots + \alpha_nP^{(n)}(0)\).
3
Soit \(f \in E^*\) telle que \(f(Q_0) = \dots = f(Q_n) = 0\). Montrer que \(f=0\).
(considérer le polynôme \(P = \alpha_0Q + \dots + \alpha_nQ^{(n)}\))
4
Montrer que \((Q_0,\dots,Q_n)\) est une base de \(E\).