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Soit \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\C)}\to {\mathcal{M}_n(\C)}\) un automorphisme d’ev tel que : \(\forall\ A,B\in\mathcal{M}_n(\C),\ \Phi([A,B]) = [\Phi(A),\Phi(B)]\) où \([X,Y] = XY - YX\). Montrer : \(\forall\ D\in\mathcal{M}_n(\C)\), (\(D\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\Phi(D)\) est diagonalisable).
Indication : considérer \(\phi_D\) : \(X \mapsto[D,X]\) et montrer que (\(D\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\phi_D\) est diagonalisable).