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Soit $\Phi : {\mathcal{M}_n(\C)}\to {\mathcal{M}_n(\C)}$ un automorphisme d’ev tel que : $\forall\ A,B\in\mathcal{M}_n(\C),\ \Phi([A,B]) = [\Phi(A),\Phi(B)]$ où $[X,Y] = XY - YX$. Montrer : $\forall\ D\in\mathcal{M}_n(\C)$, ($D$ est diagonalisable) $\Leftrightarrow$ ($\Phi(D)$ est diagonalisable).

Indication : considérer $\phi_D$ : $X \mapsto[D,X]$ et montrer que ($D$ est diagonalisable) $\Leftrightarrow$ ($\phi_D$ est diagonalisable).