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Soit $\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})$ une base orthogonal d’un espace euclidien $E$. On dit qu’un endomorphisme $f$ de $E$ conserve l’orthogonalité de $\mathcal{B}$ si et seulement si $(f(e_{1}),\ldots,f(e_{n}))$ est une famille orthogonale.

Montrer que $f$ conserve l’orthogonalité de $\mathcal{B}$ si et seulement si $\mathcal{B}$ est une base de vecteurs propres de ${}^t{f}\,f$.

Montrer que pour tout endomorphisme $f$ de $E$, il existe une base orthogonale dont $f$ conserve l’orthogonalité.