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Montrer que pour $k \ge 1$, $(f_k,g_k)$ est libre.

Soit $\varphi : {E_n} \to {E_n}, f \mapsto {f''}$. Chercher les sous-espaces propres de $\varphi$. En déduire que ${\cal F}_n$ est libre.

On note $a_k = \frac{2k\pi}{2n+1}$ et ${\varphi_k} : {E_n} \to \R, f \mapsto {f(a_k).}$

Montrer que $(\varphi_0,\dots,\varphi_{2n})$ est une base de $E_n^*$. (On utilisera la fonction $f : x \mapsto \prod_{k=1}^n (\cos x - \cos a_k)$)

Soit $N \in \N^*$. On note $b_k = \frac{2k\pi}N$ et ${\psi_k} : {E_n}\to \R, f \mapsto {f(b_k).}$ Montrer que $(\psi_0,\dots,\psi_{N-1})$ est libre si et seulement si $N \le 2n+1$, et engendre $E_n^*$ si et seulement si $N \ge 2n+1$.