On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) (\(x \in \R\), \(n \in \N\)).
Soit \(E_n\) l’espace engendré par la famille \({\cal F}_n = (f_0,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n)\).
Montrer que pour \(k \ge 1\), \((f_k,g_k)\) est libre.
Soit \(\varphi : {E_n} \to {E_n}, f \mapsto {f''}\). Chercher les sous-espaces propres de \(\varphi\). En déduire que \({\cal F}_n\) est libre.
On note \(a_k = \frac{2k\pi}{2n+1}\) et \({\varphi_k} : {E_n} \to \R, f \mapsto {f(a_k).}\)
Montrer que \((\varphi_0,\dots,\varphi_{2n})\) est une base de \(E_n^*\). (On utilisera la fonction \(f : x \mapsto \prod_{k=1}^n (\cos x - \cos a_k)\))
Soit \(N \in \N^*\). On note \(b_k = \frac{2k\pi}N\) et \({\psi_k} : {E_n}\to \R, f \mapsto {f(b_k).}\) Montrer que \((\psi_0,\dots,\psi_{N-1})\) est libre si et seulement si \(N \le 2n+1\), et engendre \(E_n^*\) si et seulement si \(N \ge 2n+1\).