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Soit $f : {\R^2} \to \R$ . On dit que $f$ est polynomiale si elle est de la forme : $f(x,y) = \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j$ , la somme portant sur un nombre fini de termes. Le degré de $f$ est alors $\max(i+j \text{ tq } a_{ij} \ne 0)$ .

On note $E_k$ l’ensemble des fonctions $\R^2 \to \R$ polynomiales de degré inférieur ou égal à $k$ .

Montrer que $E_k$ est un $\R$ -ev de dimension finie et donner sa dimension.

Soient $A=(0,0)$ , $B=(1,0)$ , $C=(0,1)$ . Montrer que les formes linéaires $f \mapsto f(A)$ , $f \mapsto f(B)$ , $f \mapsto f(C)$ constituent une base de $E_1^*$ .

Chercher de même une base de $E_2^*$ .

Soit $T$ le triangle plein $ABC$ et $f \in E_1$ . Montrer que $\int_{}^{}\!\! \int_T^{} f(x,y)\,d xd y = \frac{f(A)+f(B)+f(C)}6$ .

Chercher une formule analogue pour $f \in E_2$ .

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