Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la forme : \(f(x,y) = \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j\), la somme portant sur un nombre fini de termes. Le degré de \(f\) est alors \(\max(i+j \text{ tq } a_{ij} \ne 0)\).
On note \(E_k\) l’ensemble des fonctions \(\R^2 \to \R\) polynomiales de degré inférieur ou égal à \(k\).
Montrer que \(E_k\) est un \(\R\)-ev de dimension finie et donner sa dimension.
Soient \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(0,1)\). Montrer que les formes linéaires \(f \mapsto f(A)\), \(f \mapsto f(B)\), \(f \mapsto f(C)\) constituent une base de \(E_1^*\).
Chercher de même une base de \(E_2^*\).
Soit \(T\) le triangle plein \(ABC\) et \(f \in E_1\). Montrer que \(\int_{}^{}\!\! \int_T^{} f(x,y)\,d xd y = \frac{f(A)+f(B)+f(C)}6\).
Chercher une formule analogue pour \(f \in E_2\).