Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in O (E)\) telle que \(\ker (u-id) \neq E\). Soit \(x\in E\) tel que \(u (x) \neq x\). On pose \(y = u (x)\). Alors on sait qu’il existe une unique réflexion \(r\) telle que \(r (y) = x\).
1
Montrer que \(\ker (u-id) \subset \ker (r-id)\).
2
Montrer que \(\dim \ker (r\circ u-id) >\dim \ker (u-id)\).
3
Montrer par récurrence que toute isométrie vectorielle est la composée de réflexions.