L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 1568

Soit EE un espace euclidien et u∈O(E)u\in O (E) telle que ker⁡(u−id)≠E\ker (u-id) \neq E. Soit x∈Ex\in E tel que u(x)≠xu (x) \neq x. On pose y=u(x)y = u (x). Alors on sait qu’il existe une unique réflexion rr telle que r(y)=xr (y) = x.

1

Montrer que ker⁡(u−id)⊂ker⁡(r−id)\ker (u-id) \subset \ker (r-id).

2

Montrer que dim⁡ker⁡(r∘u−id)>dim⁡ker⁡(u−id)\dim \ker (r\circ u-id) >\dim \ker (u-id).

3

Montrer par récurrence que toute isométrie vectorielle est la composée de réflexions.

Exercice yPkp

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