1
Soit \(A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)\). Montrer que \(S = {}^t\! A\cdot A\) est une matrice symétrique dont tous les valeurs propres \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) sont positives. Démontrer l’égalité : \(\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{1\leq i,j\leq n} a^2_{ij}\).
2
Soit \(S \in \textbf{M}_n(\R)\) une matrice symétrique. Existe-t-il une matrice \(A \in \textbf{M}_n(\R)\) telle que \(S = {}^t\! A\cdot A\) ? Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour que \(A\) soit inversible. Application à \(S = \left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&2\end{array}\right)\).