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Soit $A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)$. Montrer que $S = {}^t\! A\cdot A$ est une matrice symétrique dont tous les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ sont positives. Démontrer l’égalité : $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{1\leq i,j\leq n} a^2_{ij}$.

Soit $S \in \textbf{M}_n(\R)$ une matrice symétrique. Existe-t-il une matrice $A \in \textbf{M}_n(\R)$ telle que $S = {}^t\! A\cdot A$ ? Donner une condition nécessaire et suffisante sur $S$ pour que $A$ soit inversible. Application à $S = \left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&2\end{array}\right)$.