Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(3\) et \(u\in \mathcal{O} ^-(E) .\) On pose \(F=\hbox{Ker}(u+id) .\)
1
Montrer que \(F\not = \{ 0\} .\) Montrer que \(F\) et \(f^\perp\) sont stables par \(u .\) Pour quelle raison \(\hbox{dim} (F)\not = 2 ?\)
2
On suppose \(E\not = F .\) Montrer que la restriction de \(u\) à \(F^\perp\) est une rotation.
3
En déduire qu’il existe \(\theta \in \R\) et une base \(\epsilon\) de \(E\) tels que : \[\hbox{Mat} (u, \epsilon )=\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) & 0 \cr -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \cr 0 & 0 & -1 \cr \end{pmatrix} .\]