L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 1563

Soit (E,⟨,⟩)(E , \langle , \rangle ) un espace euclidien de dimension 33 et u∈O−(E).u\in \mathcal{O} ^-(E) . On pose F=Ker(u+id).F=\hbox{Ker}(u+id) .

1

Montrer que F≠{0}.F\not = \{ 0\} . Montrer que FF et f⊥f^\perp sont stables par u.u . Pour quelle raison dim(F)≠2?\hbox{dim} (F)\not = 2 ?

2

On suppose E≠F.E\not = F . Montrer que la restriction de uu à F⊥F^\perp est une rotation.

3

En déduire qu’il existe θ∈R\theta \in \R et une base ϵ\epsilon de EE tels que : Mat(u,ϵ)=(cos⁡(θ)sin⁡(θ)0−sin⁡(θ)cos⁡(θ)000−1).\hbox{Mat} (u, \epsilon )=\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) & 0 \cr -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \cr 0 & 0 & -1 \cr \end{pmatrix} .

Exercice hzm0

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