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Montrer que $x_1, \dots, x_n$ sont liés si et seulement si $G(x_1, \dots, x_n) = 0$ ; montrer que si $x_1, \dots, x_n$ sont indépendants, on a $G(x_1, \dots, x_n) > 0$.

Montrer que, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$, on a $G(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = G(x_1, \dots, x_n)$, et que la valeur de $G(x_1, \dots, x_n)$ n’est pas modifiée si l’on rajoute à un des vecteurs, soit $x_i$, une combinaison linéaire des autres vecteurs $x_j (j\not= i)$. Calculer $G({\alpha}x_1, \dots, x_n)$ (${\alpha} \in \R$).

On suppose $x_1, \dots, x_n$ indépendants. Soit $x \in E$, et soit $d(x,H)$ la distance de $x$ à l’hyperplan $H = \textrm{Vect}(x_1, \dots, x_n)$. Montrer que $\displaystyle{d(x,H)^2 = \frac{G(x, x_1, \dots, x_n)}{G(x_1, \dots, x_n)}}$.