Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien de dimension \(p\). A chaque \(n\)-uple \((x_1, \dots, x_n)\) d’éléments de \(E\) on associe le nombre (déterminant de Gram) \[G(x_1, \dots, x_n) = \textrm{dét}(<x_i,x_j>)_{i,j=1,\dots,n}.\]
Montrer que \(x_1, \dots, x_n\) sont liés si et seulement si \(G(x_1, \dots, x_n) = 0\) ; montrer que si \(x_1, \dots, x_n\) sont indépendants, on a \(G(x_1, \dots, x_n) > 0\).
Montrer que, pour toute permutation \(\sigma\) de \(\{1, \dots, n\}\), on a \(G(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = G(x_1, \dots, x_n)\), et que la valeur de \(G(x_1, \dots, x_n)\) n’est pas modifiée si l’on rajoute à un des vecteurs, soit \(x_i\), une combinaison linéaire des autres vecteurs \(x_j (j\not= i)\). Calculer \(G({\alpha}x_1, \dots, x_n)\) (\({\alpha} \in \R\)).
On suppose \(x_1, \dots, x_n\) indépendants. Soit \(x \in E\), et soit \(d(x,H)\) la distance de \(x\) à l’hyperplan \(H = \textrm{Vect}(x_1, \dots, x_n)\). Montrer que \(\displaystyle{d(x,H)^2 = \frac{G(x, x_1, \dots, x_n)}{G(x_1, \dots, x_n)}}\).