On pose \(g=f+f''\). Par hypothèse, la fonction \(g\) est une application continue et positive sur \(\Rr\) et de plus, la fonction \(f\) est solution sur \(\Rr\) de l’équation différentielle \(y''+y=g\) sur \(\Rr\). Résolvons cette équation différentielle, notée \((E)\), sur \(\Rr\).

Les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\lambda\cos x+\mu\sin x\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\). D’après la méthode de variation des constantes, il existe une solution particulière de \((E)\) sur \(\Rr\) de la forme \(f_0~:~x\mapsto\lambda(x)\cos(x)+\mu(x)\sin(x)\) où de plus les fonctions \(\lambda\) et \(\mu\) sont solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} \lambda'\cos(x)+\mu'\sin(x)=0\\ -\lambda'\sin(x)+\mu'\cos(x)=g \end{array} \right.\).

Les formules de Cramer fournissent \(\forall x\in\Rr\), \(\lambda'(x)=-g(x)\sin(x)\) et \(\mu'(x)=g(x)\cos(x)\). On peut alors prendre \(\forall x\in\Rr\), \(\lambda(x)=-\int_{0}^{x}g(t)\sin(t)\;dt\) et \(\mu(x)=\int_{0}^{x}g(t)\cos(t)\;dt\) puis

\(\forall x\in\Rr\), \(f_0(x)=-\cos(x)\int_{0}^{x}g(t)\sin(t)\;dt+\sin(x)\int_{0}^{x}g(t)\cos(t)\;dt=\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt\).

Ainsi, les solutions de \((E)\) sur \(\Rr\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\). La fonction \(f\) est l’une de ces solutions. Par suite, il existe \((\lambda_0,\mu_0)\in\Rr^2\) tel que \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\lambda_0\cos(x)+\mu_0\sin(x)+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt\) et donc pour tout réel \(x\),

\[\begin{align*}\ensuremath f(x)+f(x+\pi)&=\int_{0}^{x+\pi}g(t)\sin(x+\pi-t)\;dt+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt=-\int_{0}^{x+\pi}g(t)\sin(x-t)\;dt+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt\\ &=\int_{x}^{x+\pi}g(t)\sin(t-x)\;dt=\int_{0}^{\pi}g(u+x)\sin(u)\;du\geqslant0. \end{align*}\]

On a montré que si \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)+f''(x)\geqslant 0\), alors \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)+f(x+\pi)\geqslant 0\).

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