On pose $g=f+f''$ . Par hypothèse, la fonction $g$ est une application continue et positive sur $\Rr$ et de plus, la fonction $f$ est solution sur $\Rr$ de l’équation différentielle $y''+y=g$ sur $\Rr$ . Résolvons cette équation différentielle, notée $(E)$ , sur $\Rr$ .

Les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions de la forme $x\mapsto\lambda\cos x+\mu\sin x$ , $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ . D’après la méthode de variation des constantes, il existe une solution particulière de $(E)$ sur $\Rr$ de la forme $f_0~:~x\mapsto\lambda(x)\cos(x)+\mu(x)\sin(x)$ où de plus les fonctions $\lambda$ et $\mu$ sont solutions du système

$\left\{ \begin{array}{l} \lambda'\cos(x)+\mu'\sin(x)=0\\ -\lambda'\sin(x)+\mu'\cos(x)=g \end{array} \right.$ .

Les formules de Cramer fournissent $\forall x\in\Rr$ , $\lambda'(x)=-g(x)\sin(x)$ et $\mu'(x)=g(x)\cos(x)$ . On peut alors prendre $\forall x\in\Rr$ , $\lambda(x)=-\int_{0}^{x}g(t)\sin(t)\;dt$ et $\mu(x)=\int_{0}^{x}g(t)\cos(t)\;dt$ puis

$\forall x\in\Rr$ , $f_0(x)=-\cos(x)\int_{0}^{x}g(t)\sin(t)\;dt+\sin(x)\int_{0}^{x}g(t)\cos(t)\;dt=\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt$ .

Ainsi, les solutions de $(E)$ sur $\Rr$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt$ , $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ . La fonction $f$ est l’une de ces solutions. Par suite, il existe $(\lambda_0,\mu_0)\in\Rr^2$ tel que $\forall x\in\Rr$ , $f(x)=\lambda_0\cos(x)+\mu_0\sin(x)+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt$ et donc pour tout réel $x$ ,

$\begin{align*}\ensuremath f(x)+f(x+\pi)&=\int_{0}^{x+\pi}g(t)\sin(x+\pi-t)\;dt+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt=-\int_{0}^{x+\pi}g(t)\sin(x-t)\;dt+\int_{0}^{x}g(t)\sin(x-t)\;dt\\ &=\int_{x}^{x+\pi}g(t)\sin(t-x)\;dt=\int_{0}^{\pi}g(u+x)\sin(u)\;du\geqslant0. \end{align*}$

On a montré que si $\forall x\in\Rr$ , $f(x)+f''(x)\geqslant 0$ , alors $\forall x\in\Rr$ , $f(x)+f(x+\pi)\geqslant 0$ .

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