Si \(f\) est constante c’est évident. Sinon, on a facilement \(|f(z)|\xrightarrow[|z|\to\infty]{}\infty\). Considérons un fermé \(F\) et une suite \((f(z_n))\) d’éléments de \(f(F)\) convergeant vers \(Z\in\C\). D’après la remarque, la suite \((z_n)\) est bornée, elle admet une valeur d’adhérence \(z\in F\) et \(Z=f(z)\in f(F)\).

Remarque : ce résultat est faux pour une fonction polynomiale sur \(\C^p\) avec \(p\ge 2\), prendre par exemple \(f(x,y) = x\) sur \(\C^2\) et \(F = \{(x,y)\in\C^2\) tq \(xy=1\}\).

exo7 4800