Quand $x$ tend vers $+\infty$ ,

$\sqrt{x^2-3}=x\left(1-\frac{3}{x^2}\right)^{1/2}=x\left(1-\frac{3}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})\right)=x-\frac{3}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right),$ et,

$\begin{align*} \sqrt[3]{8x^3+7x^2+1} &= 2x\left(1+\frac{7}{8x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)^{1/3} \\ &= 2x\left(1+\frac{7}{24x}-\frac{49}{576x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) \\ &= 2x+\frac{7}{12}-\frac{49}{288x}+o\left(\frac{1}{x}\right). \end{align*}$ Donc,

$f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}-x-\frac{7}{12}-\frac{383}{288x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$ La courbe représentative de $f$ admet donc en $+\infty$ une droite asymptote d’équation $y=-x-\frac{7}{12}$ . De plus, le signe de $f(x)-\left(-x-\frac{7}{12}\right)$ est, au voisinage de $+\infty$ , le signe de $-\frac{383}{288x}$ . Donc la courbe représentative de $f$ est au-dessous de la droite d’équation $y=-x-\frac{7}{12}$ au voisinage de $+\infty$ .

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