Puisque $a>0$ , $b>0$ et que pour tout réel $x$ , $\frac{a^x+b^x}{2}>0$ , $f$ est définie sur $\Rr^*$ , et pour

$\forall x\in\Rr^*$ , $f(x)=\text{exp}\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)\right)$ .

Etude en 0.

$\begin{align*}\ensuremath \ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)&=\ln\left(\frac{e^{x\ln a}+e^{x\ln b}}{2}\right)\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x\left(\frac{1}{2}\ln a+\frac{1}{2}\ln b\right)+x^2\left(\frac{1}{4}\ln^2a+\frac{1}{4}\ln^2b\right)+o(x^2)\right)\\ &=\ln\left(1+x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+x^2\frac{\ln^2a+\ln^2b}{4}+o(x^2)\right)=x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+x^2\frac{\ln^2a+\ln^2b}{4}-\frac{1}{2}(x\ln\sqrt{ab})^2+o(x^2)\\ &=x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+\frac{1}{8}(\ln^2a-2\ln a\ln b+\ln^2b)x^2+o(x^2)=x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+x^2\frac{1}{8}\ln^2\left(\frac{a}{b}\right)+o(x^2). \end{align*}$ Enfin,

$f(x)=\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=\mbox{exp}(\ln(\sqrt{ab})+\frac{1}{8}\ln^2\frac{a}{b}x+o(x))=\sqrt{ab}(1+\frac{1}{8}x\ln^2\frac{a}{b}+o(x)).$ Ainsi, $f$ se prolonge par continuité en $0$ en posant $f(0)=\sqrt{ab}$ . Le prolongement obtenu est dérivable en $0$ et $f'(0)=\frac{\sqrt{ab}}{8}\ln^2\frac{a}{b}(>0)$ . Etude en $\bf{+\infty}$ . $\begin{align*}\ensuremath \frac{1}{x}\ln\left(\frac{1}{2}(a^x+b^x)\right)&=\frac{1}{x}\left(\ln(b^x)-\ln2+\ln\left(1+\left(\frac{a}{b}\right)^x\right)\right) =\frac{1}{x}(x\ln b+o(x))\quad(\mbox{car}\;0<\frac{a}{b}<1)\\ &=\ln b+o(1). \end{align*}$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b(=\mbox{Max}\{a,b\})$ . Etude en $\bf{-\infty}$ . Pour tout réel $x$ ,

$f(-x)=\left(\frac{a^{-x}+b^{-x}}{2}\right)^{-1/x}= \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2a^xb^x}\right)^{-1/x}=\frac{ab}{f(x)},$ et donc,

$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}f(-X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ab}{f(X)}=\frac{ab}{b}=a\quad(=\mbox{Min}\{a,b\}).$ Dérivée et variations. $f$ est dérivable sur $]-\infty,0\cup]0,+\infty[$ en vertu de théorèmes généraux (et aussi en $0$ d’après l’étude faite plus haut), et pour $x\neq0$ (puisque $f>0$ sur $\Rr^*$ ),

$\frac{f'(x)}{f(x)}=(\ln f)'(x)=\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)\right)'(x)=-\frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)+\frac{1}{x} \frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}.$ $f'$ a le même signe que $(\ln f)'$ qui, elle-même, a le même signe que la fonction $g$ définie sur $\Rr$ par

$\forall x\in\Rr,\;g(x)=-\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)+x\frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}.$ $g$ est dérivable sur $\Rr$ et, pour $x$ réel,

$\begin{align*}\ensuremath g'(x)&=-\frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}+\frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}+x\frac{(a^x\ln^2a+b^x\ln^2b)(a^x+b^x)-(a^x\ln a+b^x\ln b)^2}{(a^x+b^x)^2}\\ &=x\frac{(ab)^x(\ln a-\ln b)^2}{(a^x+b^x)^2}. \end{align*}$ $g'$ est donc strictement négative sur $]-\infty,0[$ et strictement positive sur $]0,+\infty[$ . Par suite, $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ . $g'$ admet donc un minimum global strict en $0$ et puisque $g(0)=0$ , on en déduit que $g$ est strictement positive sur $\Rr^*$ . De même, $f'$ est strictement positive sur $\Rr^*$ . En tant compte de l’étude en $0$ , on a montré que $f$ est dérivable sur $\Rr$ et que $f'$ est strictement positive sur $\Rr$ . $f$ est donc strictement croissante sur $\Rr$ . Le graphe de $f$ a l’allure suivante :

\[\]

On peut noter que les inégalités $\lim_{x\rightarrow -\infty}f<f(-1)<f(0)<f(1)<\lim_{x\rightarrow +\infty}f$ fournissent :

$a<\frac{1}{\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b.$

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