On définit les cinq ensembles suivants : \[\begin{aligned} A_1 & = & \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,\; x+y<1\right\}\\ A_2 & = & \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,\; |x+y|<1\right\}\\ A_3 & = & \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,\; |x|+|y|<1\right\}\\ A_4 & = & \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,\; x+y>-1\right\}\\ A_5 & = & \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,\; |x-y|<1\right\}\\\end{aligned}\]
1
Représenter ces cinq ensembles.
2
En déduire une démonstration géométrique de \[(|x+y|<1\;\mbox{ et }\;|x-y|<1) \Leftrightarrow |x|+|y|<1.\]