[exoferm] Soit \(X\) un espace normé, \(L:X\to \Rr\) une forme linéaire non nulle et \(H = L^{-1}(\{0\})\) son noyau.
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Montrer que, si \(L\) est continue, alors \(H\) est un sous-espace fermé dans \(X\). Établir la relation \[\mathrm{dist}(a,H) = \frac{|L(a)|}{\|L\|} \quad \text{pour tout } a\in X \; .\]
2
Réciproquement, supposons que le noyau \(H\) est un fermé. Démontrer alors que \(\mathrm{dist}(a,H)>0\) dès que \(a\in X\setminus H\) et en déduire que \(L\) est continue de norme au plus \(|L(a)|/\mathrm{dist}(a,H)\).
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Peut-on généraliser ceci a des applications linéaires entre espaces normés?