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Montrer que, si $L$ est continue, alors $H$ est un sous-espace fermé dans $X$. Établir la relation $$\mathrm{dist}(a,H) = \frac{|L(a)|}{\|L\|} \quad \text{pour tout } a\in X \; .$$

Réciproquement, supposons que le noyau $H$ est un fermé. Démontrer alors que $\mathrm{dist}(a,H)>0$ dès que $a\in X\setminus H$ et en déduire que $L$ est continue de norme au plus $|L(a)|/\mathrm{dist}(a,H)$.

Peut-on généraliser ceci a des applications linéaires entre espaces normés?