Règle de Raabe-Duhamel

On suppose qu’il existe $N\in\N$ tel que $$\forall n\geq N, \quad \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \frac{v_{n+1}}{v_n}.$$ Monter que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

Montrer que si $\alpha >1$, alors $\sum u_n$ converge ;

Montrer que si $\alpha <1$, alors $\sum u_n$ diverge.

Application : on pose $u_n = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k+1}$. Étudier la nature de la série $\sum u_n$.