Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positifs.
1
On suppose qu’il existe \(N\in\N\) tel que \[\forall n\geq N, \quad \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \frac{v_{n+1}}{v_n}.\] Monter que si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
On suppose qu’il existe \(\alpha \in\mathbb{R}\) tel que \[\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n} + o(\frac{1}{n}) \quad \text{ lorsque } n\rightarrow +\infty.\]
2
Montrer que si \(\alpha >1\), alors \(\sum u_n\) converge ;
3
Montrer que si \(\alpha <1\), alors \(\sum u_n\) diverge.
4
Application : on pose \(u_n = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k+1}\). Étudier la nature de la série \(\sum u_n\).