Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de \(+\infty\), on ait \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 + \frac{\alpha}{n} +o\left(\frac 1 n \right).\]
Montrer que la série de terme général \(n^\alpha\) est de ce type ; rappeler pour quelles valeurs de \(\alpha\) elle converge.
Montrer que si \(\alpha >-1\), la série de terme général \(a_n\) diverge, et que si \(\alpha <-1\) elle converge.
Application : étudier la série \[\sum_{n\geq 1}{1.3.5\ldots(2n-1)\over2.4.6\ldots(2n+2)}.\]
Montrer que si l’on a au voisinage de \(+\infty\), \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \frac 1 n +o \left(\frac 1{n \ln n} \right),\] alors la série de terme général \(a_n\) diverge.
Application : étudier la série \[\sum_{n\geq 1} \left(1-\exp (-1/n) \right).\]