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Montrer que la série de terme général $n^\alpha$ est de ce type ; rappeler pour quelles valeurs de $\alpha$ elle converge.

Montrer que si $\alpha >-1$, la série de terme général $a_n$ diverge, et que si $\alpha <-1$ elle converge.

Application : étudier la série $$\sum_{n\geq 1}{1.3.5\ldots(2n-1)\over2.4.6\ldots(2n+2)}.$$

Montrer que si l’on a au voisinage de $+\infty$, $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \frac 1 n +o \left(\frac 1{n \ln n} \right),$$ alors la série de terme général $a_n$ diverge.

Application : étudier la série $$\sum_{n\geq 1} \left(1-\exp (-1/n) \right).$$