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Soit $f : {\R^+} \to {\R^+}$ décroissante. On pose $u_n = f(n)$ et $s_n = u_0 + \dots + u_n$.

Montrer que la suite de terme général $s_n - \int_{t=0}^{n+1} f(t)\,d t$ est convergente. Donner une interprétation graphique de ce fait.

Application : On pose $\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n - \ln n\right)$. Justifier l’existence de $\gamma$ et montrer que $\frac 12 \le \gamma \le 1$.