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Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et \(s_n = u_0 + \dots + u_n\).
Montrer que la suite de terme général \(s_n - \int_{t=0}^{n+1} f(t)\,d t\) est convergente. Donner une interprétation graphique de ce fait.
Application : On pose \(\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n - \ln n\right)\). Justifier l’existence de \(\gamma\) et montrer que \(\frac 12 \le \gamma \le 1\).