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Montrer que la suite $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite ?

Montrer que la série de terme général $u_n^2$ converge.

Montrer que les séries de termes généraux $\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ et $u_n$ divergent.

Montrer que $u_n < \frac 1{n+1}$ et que la suite $(nu_n)$ est croissante. On note $\ell$ sa limite.

On pose $u_n = \frac{\ell-v_n}n$. Montrer que la série de terme général $v_{n+1}-v_n$ converge.

En déduire que $u_n$ est équivalent à $\frac 1n$.