On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et \(\forall\ n\in\N,\ u_{n+1} = u_n - u_n^2\).
1
Montrer que la suite \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?
2
Montrer que la série de terme général \(u_n^2\) converge.
3
Montrer que les séries de termes généraux \(\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) et \(u_n\) divergent.
4
Montrer que \(u_n < \frac 1{n+1}\) et que la suite \((nu_n)\) est croissante. On note \(\ell\) sa limite.
5
On pose \(u_n = \frac{\ell-v_n}n\). Montrer que la série de terme général \(v_{n+1}-v_n\) converge.
6
En déduire que \(u_n\) est équivalent à \(\frac 1n\).