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Prouver la convergence de la série de terme général $u_n = \frac1{n\ln^2 n}$.

On note $S_n = \sum_{k=2}^n u_k$ et $S = \sum_{k=2}^\infty u_k$. Montrer que $\frac1{\ln(n+1)} \le S-S_n \le \frac1{\ln n}$ pour $n \ge 2$.

Montrer que si $S_n$ est une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près alors $n > 10^{434}$.

On suppose disposer d’une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près ? (Remarque : 1 an $\approx$ 32 millions de secondes)

Donner une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près.