1
Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \frac1{n\ln^2 n}\).
2
On note \(S_n = \sum_{k=2}^n u_k\) et \(S = \sum_{k=2}^\infty u_k\). Montrer que \(\frac1{\ln(n+1)} \le S-S_n \le \frac1{\ln n}\) pour \(n \ge 2\).
3
Montrer que si \(S_n\) est une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près alors \(n > 10^{434}\).
4
On suppose disposer d’une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près ? (Remarque : 1 an \(\approx\) 32 millions de secondes)
5
Donner une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près.