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Soient $k,p \in \N$ avec $k \le p$. Montrer que $\sum_{n=k}^p \frac{{C_n^k}-C_n^{k+1}}{2^n} = \frac{C_{p+1}^{k+1}}{2^p}$.

Soit $(u_n)$ une série convergente. On pose $v_n = \frac1{2^n} \sum_{p=0}^n C_n^pu_p$. Montrer que la série $(v_n)$ est convergente.