La seule fonction qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle : $P\cap I = \{0\}$ . Montrons qu’une fonction $f:\Rr \longrightarrow \Rr$ se décompose en une fonction paire et une fonction impaire. En effet : $f(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$ La fonction $x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ est paire (le vérifier !), la fonction $x \mapsto \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ est impaire. Donc $P+I=E$ . Bilan : $E=P\oplus I.$ Le projecteur sur $P$ de direction $I$ est l’application $\pi : E \longrightarrow E$ qui à $f$ associe la fonction $x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ , c’est-à-dire à $f$ on associe la partie paire de $f$ . Nous avons bien

$\pi(f)\in P$ . Par définition de $\pi$ , $\pi(f)$ est bien une fonction paire.
$\pi \circ \pi = \pi$ . Si $g$ est une fonction paire alors $\pi(g)=g$ . Appliquons ceci avec $g=\pi(f)$ (qui est bien est une fonction paire) donc $\pi(\pi(f))=\pi(f)$ .
$\ker \pi = I$ . Si $\pi(f)=0$ alors cela signifie exactement que la fonction $x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ est la fonction nulle. Donc pour tout $x$ : $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=0$ donc $f(x)=-f(-x)$ ; cela implique que $f$ est une fonction impaire. Réciproquement si $f\in I$ est une fonction impaire, sa partie paire est nulle donc $f\in \ker f$ .

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