Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe \(p \in \N\) tel que \(f^p = 0\). Dans ce cas, l’indice de \(f\) est le plus petit entier \(p\) tel que \(f^p = 0\). On considère \(f\in\mathcal{L}(E)\) nilpotent d’indice \(p\).
1
Soit \(\vec u \in E \setminus \mathrm{Ker} f^{p-1}\). Montrer que la famille \(\bigl(\vec u, f(\vec u), \dots, f^{p-1}(\vec u) \bigr)\) est libre.
2
En déduire que si \(E\) est de dimension finie \(n\), alors \(f^n = 0\).
3
Soit \(g \in GL(E)\) tel que \(f\circ g = g\circ f\). Montrer que \(f + g \in GL(E) \dots\)
4
en dimension finie.
5
pour \(E\) quelconque.