L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

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Un endomorphisme f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) est dit nilpotent s’il existe p∈Np \in \N tel que fp=0f^p = 0. Dans ce cas, l’indice de ff est le plus petit entier pp tel que fp=0f^p = 0. On considère f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E) nilpotent d’indice pp.

1

Soit u⃗∈E∖Kerfp−1\vec u \in E \setminus \mathrm{Ker} f^{p-1}. Montrer que la famille (u⃗,f(u⃗),…,fp−1(u⃗))\bigl(\vec u, f(\vec u), \dots, f^{p-1}(\vec u) \bigr) est libre.

2

En déduire que si EE est de dimension finie nn, alors fn=0f^n = 0.

3

Soit g∈GL(E)g \in GL(E) tel que f∘g=g∘ff\circ g = g\circ f. Montrer que f+g∈GL(E)…f + g \in GL(E) \dots

4

en dimension finie.

5

pour EE quelconque.

Exercice hgSB

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