On suppose que le poids d’un adulte peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi normale d’espérance \(\mu = 70\) kg et d’écart-type \(\sigma = 15\) kg.
Un ascenseur peut supporter 500 kg avant la surcharge. Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser 0,0001. On admet que le poids total de \(n\) usagers adultes d’ascenseurs, dont les poids sont indépendants, est une variable aléatoire \(S = X_1+\cdots X_n\) où \(X_1, \ldots, X_n\) sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de \(X\).
Justifier que la variable aléatoire \(S\) suit une loi normale d’espérance \(\mu_S = 70n\) et d’écart-type \(\sigma_S = 15\sqrt{n}\).
Justifier que \(\prob(Z > 4{,}475) < 0{,}0001\) où \(Z\) est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.
Calculer les probabilités de surcharge \(p_5\) lorsqu’il y a 5 adultes dans l’ascenseur et \(p_6\) lorsqu’il y a 6 adultes dans l’ascenseur.
En déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l’ascenseur.