Soit \((a,b,c)\in\Rr^3\). Notons \(\Delta\) le déterminant de l’énoncé. Pour \(x\) réel, on pose \(D(x)=\left| \begin{array}{ccc} -2x&x+b&x+c\\ b+x&-2b&b+c\\ c+x&c+b&-2c \end{array}\right|\) (de sorte que \(\Delta=D(a)\))). \(D\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\). Le coefficient de \(x^2\) vaut

\[-(-2c)+(b+c)+(b+c)-(-2b)=4(b+c).\] Puis,

\[D(-b)=\left| \begin{array}{ccc} 2b&0&-b+c\\ 0&-2b&b+c\\ c-b&c+b&-2c \end{array}\right|=2b(4bc-(b+c)^2)+2b(c-b)^2=0,\] et par symétrie des rôles de \(b\) et \(c\), \(D(-c)=0\). De ce qui précède, on déduit que si \(b\neq c\), \(D(x)=4(b+c)(x+b)(x+c)\) (même si \(b+c=0\) car alors \(D\) est un polynôme de degré infèrieur ou égal à \(1\) admettant au moins deux racines distinctes et est donc le polynôme nul). Ainsi, si \(b\neq c\) (ou par symétrie des roles, si \(a\neq b\) ou \(a\neq c\)), on a : \(\Delta=4(b+c)(a+b)(a+c)\). Un seul cas n’est pas encore étudié à savoir le cas où \(a=b=c\). Dans ce cas,

\[D(a)=\left| \begin{array}{ccc} -2a&2a&2a\\ 2a&-2a&2a\\ 2a&2a&-2a \end{array}\right|=8a^3\left| \begin{array}{ccc} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right|=32a^3=4(a+a)(a+a)(a+a),\] ce qui démontre l’identité proposée dans tous les cas (on pouvait aussi conclure en constatant que, pour \(a\) et \(b\) fixés, la fonction \(\Delta\) est une fonction continue de \(c\) et on obtient la valeur de \(\Delta\) pour \(c=b\) en faisant tendre \(c\) vers \(b\) dans l’expression de \(\Delta\) déjà connue pour \(c\neq b\)).

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