On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
1
Comparer \(I_n\) et \(\int_{t=0}^{\pi/2} \sin^nt\,d t\).
2
En coupant \(\left[0,\frac\pi2\right]\) en \([0,\alpha]\) et \(\left[\alpha,\frac\pi2\right]\), démontrer que \(I_n \to 0\) pour \(n\to\infty\).
3
Chercher une relation de récurrence entre \(I_n\) et \(I_{n+2}\). En déduire \(I_{2k}\) et \(I_{2k+1}\) en fonction de \(k\).
4
Démontrer que \(nI_nI_{n-1} = \frac \pi2\).
5
Démontrer que \(I_n \sim I_{n-1}\) et en déduire un équivalent simple de \(I_n\) puis de \(C_{2n}^n\) pour \(n \to \infty\).