exo7 4255

Comparer $I_n$ et $\int_{t=0}^{\pi/2} \sin^nt\,d t$.

En coupant $\left[0,\frac\pi2\right]$ en $[0,\alpha]$ et $\left[\alpha,\frac\pi2\right]$, démontrer que $I_n \to 0$ pour $n\to\infty$.

Chercher une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$. En déduire $I_{2k}$ et $I_{2k+1}$ en fonction de $k$.

Démontrer que $nI_nI_{n-1} = \frac \pi2$.

Démontrer que $I_n \sim I_{n-1}$ et en déduire un équivalent simple de $I_n$ puis de $C_{2n}^n$ pour $n \to \infty$.