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Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\prod\limits_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{k^{2} }{n^{2}}\right) ^{\frac{1}{n}}\ ;\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{e^{-\frac{n}{k}}}{k{{}^{2}}}\ ;\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n+k}{n^{2}+k{}} \ ;\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{ n^{2}-k{{}^{2}}}}.\] Soit \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}\text{ }}\) la suite réelle définie par : \[\forall n\in \Nn^{*},\text{ }u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n}{n{{}^{2}} +k{{}^{2}}}.\] Calculer : \[\ell=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}\] et donner un équivalent de \(u_{n}-\ell.\)