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Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on définit $f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)= n e^{-nx}$. Montrer que la suite $(f_{n})_{n\in\mathbb{R}}$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $]0,1]$ mais que $$\begin{equation} \int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow+\infty}f_{n}(x)\,dx \quad\neq\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,dx. \end{equation}$$ Vérifier que la convergence de $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ vers $f$ n’est pas uniforme sur $]0,1]$.