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Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) par : \(f_{n}(x)= n e^{-nx}\). Montrer que la suite \((f_{n})_{n\in\mathbb{R}}\) converge simplement vers une fonction \(f\) sur \(]0,1]\) mais que \[\begin{equation} \int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow+\infty}f_{n}(x)\,dx \quad\neq\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,dx. \end{equation}\] Vérifier que la convergence de \((f_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) vers \(f\) n’est pas uniforme sur \(]0,1]\).