Soit \(y = \gamma x + \delta\) l’équation de la droite en question. On veut que l’équation \(x^4 + ax^3 + bx^2 + (c-\gamma)x + (d-\delta) = 0\) ait quatre racines distinctes en progression arithmétique. Si \(r\) est la raison de cette progression alors les racines sont \(-\frac a4 -\frac32r\), \(-\frac a4 -\frac12r\), \(-\frac a4 +\frac12r\) et \(-\frac a4 +\frac32r\). On doit donc chercher à quelle condition sur \(a,b,c,d\) il existe \(\gamma,\delta,r\) réels tels que : \[\begin{aligned} &\Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr) + \dots + \Bigl(-\frac a4 +\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac32r\Bigr) = -b\\ & \Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac12r\Bigr) + \dots \\ &\qquad\qquad\qquad+ \bigl(-\frac a4 - \frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac32r\Bigr) = c-\gamma\\ &\Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac32r\Bigr) = \delta - d \end{aligned}\] Les deux dernières équations sont satisfaites à \(r\) donné en choisissant convenablement \(\gamma\) et \(\delta\). La première s’écrit après simplifications : \(\frac52r^2 = \frac38a^2 + b\) et la condition demandée est \(3a^2 + 8b> 0\).

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