Soit $y = \gamma x + \delta$ l’équation de la droite en question. On veut que l’équation $x^4 + ax^3 + bx^2 + (c-\gamma)x + (d-\delta) = 0$ ait quatre racines distinctes en progression arithmétique. Si $r$ est la raison de cette progression alors les racines sont $-\frac a4 -\frac32r$ , $-\frac a4 -\frac12r$ , $-\frac a4 +\frac12r$ et $-\frac a4 +\frac32r$ . On doit donc chercher à quelle condition sur $a,b,c,d$ il existe $\gamma,\delta,r$ réels tels que : $\begin{aligned} &\Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr) + \dots + \Bigl(-\frac a4 +\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac32r\Bigr) = -b\\ & \Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac12r\Bigr) + \dots \\ &\qquad\qquad\qquad+ \bigl(-\frac a4 - \frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac32r\Bigr) = c-\gamma\\ &\Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac32r\Bigr) = \delta - d \end{aligned}$ Les deux dernières équations sont satisfaites à $r$ donné en choisissant convenablement $\gamma$ et $\delta$ . La première s’écrit après simplifications : $\frac52r^2 = \frac38a^2 + b$ et la condition demandée est $3a^2 + 8b> 0$ .

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