Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction \(f(x,t,c) = x- \ln(x) - t + \ln(t) - c\).
1
Démonter que si une fonction dérivable de \(t\), \(x=\gamma_c(t)\) est solution de l’équation \(f(\gamma_c(t),t,c)=0\), alors elle est solution de l’équation différentielle \({t(x-1)x' = (t-1)x}\).
2
Existe-t-il une fonction \(g(t,c)\) définie dans un voisinage de \((2,0)\) vérifiant \(g(2,0)=2\) et \(f(g(t,c),t,c)=0\) (justifier) ? Si oui, calculer le développement limité (le polynôme de Taylor) d’ordre 2 de cette solution.