On considère l’équation \((1)\quad x'=3x^{2/3}\) avec condition initiale \(x(0)=0\).
1
Soit \(\varphi\) une solution de \((1)\) définie sur \(\Rr\) telle que \(\varphi(0)=0\); on pose \(\lambda=\inf\{t\leq0;\ \varphi(t)=0\}\geq -\infty\) et \(\mu=\sup\{t\geq0;\ \varphi(t)=0\}\leq +\infty\). Montrer que \(\varphi\) est identiquement nulle sur \((\lambda,\mu)\).
2
Montrer que \(\varphi\) vaut \((t-\lambda)^3\) si \(t\leq\lambda\), \(0\) sur \([\lambda,\mu]\) et \((t-\mu)^3\) si \(t\geq\mu\); en déduire toutes les solutions maximales de \((1)\) définies sur \(\Rr\) avec \(x(0)=0\).