Introduction. Si \(A\) est une matrice \(n\times n\) à coefficients réels, on sait que les solutions de l’équation \[\begin{equation} \varphi'(t) = A\varphi(t) \tag{*} \end{equation}\] sont définies (au moins) sur l’intervalle \([0,\infty[\) (et à valeurs dans \(\Rr^n\)). Dans la question 1. on vous demande de démontrer que, sous certaines hypothèses sur \(A\), on a \(\lim_{t\to\infty} \varphi(t) = 0\).
Le but des questions 2. et 3. est de démontrer les mêmes résultats pour l’équation perturbée \[\begin{equation} \varphi'(t) = A\varphi(t) + g(\varphi(t)) \tag {**} \end{equation}\] où \(g:\Rr^n \to \Rr^n\) est une fonction de classe \(C^1\) vérifiant \(g(0) = 0\) et \(g'(0) = 0\).
Les questions 1. et 2. sont indépendantes. La question 3. utilise des résultats des questions 1. et 2.
Soit \(M(n,\Rr)\) l’ensemble des matrices carrées \(n\times n\) à coefficients réels et \(M(n,\Cc)\) l’ensemble des matrices \(n\times n\) à coefficients complexes. Soit \(\| \quad \| : \Cc^n \to \Rr\) la norme définie par \(\|(x_1, \ldots, x_n)\| = \max_{i} |x_i|\).
Démontrer que pour tout \(x\in\Cc^n\), \(B\in M(n,\Cc)\) on a : \[\max_{i=1,\ldots,n} \left|{\sum_{j=1}^n B_{ij}x_j}\right| \le (\max_i \sum_j |B_{ij}|) \cdot (\max_j |x_j|)\ ,\] c’est-à-dire \(\|Bx\| \le (\max_i \sum_j |B_{ij}) \cdot \|x\|\).
Soit \(D\in M(n,\Cc)\) une matrice diagonale avec \((\lambda_1, \ldots,\lambda_n)\) sur la diagonale. Montrer que \(\forall x\in \Cc^n\) : \(\|Dx\| \le (\max_i |\lambda_i|) \cdot \|x\|\).
Soit \(A\in M(n,\Cc)\) diagonalisable et \(\lambda_1, \ldots,\lambda_n\) ses valeurs propres. Soit \(\alpha = \max_i \Re \lambda_i\). Montrer qu’il existe une constante \(K>0\) telle que \(\forall x\in \Cc^n\), \(\forall t\in [0,\infty[\) : \(\|e^{tA}x\| \le K e^{\alpha t} \|x\|\).
Soit \(A\in M(n,\Rr)\) diagonalisable sur \(\Cc\) et \(\lambda_1, \ldots,\lambda_n\) ses valeurs propres (attention, ici \(A\) est à coefficients réels). Soit en plus \(\alpha = \max_i \Re \lambda_i\) strictement inférieur à 0. Déduire de ce qui précède que si \(\varphi(t)\) est solution de l’équation (*), alors \(\lim_{t\to \infty} \varphi(t) = 0\).