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Soit $M(n,\Rr)$ l’ensemble des matrices carrées $n\times n$ à coefficients réels et $M(n,\Cc)$ l’ensemble des matrices $n\times n$ à coefficients complexes. Soit $\| \quad \| : \Cc^n \to \Rr$ la norme définie par $\|(x_1, \ldots, x_n)\| = \max_{i} |x_i|$.

Démontrer que pour tout $x\in\Cc^n$, $B\in M(n,\Cc)$ on a : $$\max_{i=1,\ldots,n} \left|{\sum_{j=1}^n B_{ij}x_j}\right| \le (\max_i \sum_j |B_{ij}|) \cdot (\max_j |x_j|)\ ,$$ c’est-à-dire $\|Bx\| \le (\max_i \sum_j |B_{ij}) \cdot \|x\|$.

Soit $D\in M(n,\Cc)$ une matrice diagonale avec $(\lambda_1, \ldots,\lambda_n)$ sur la diagonale. Montrer que $\forall x\in \Cc^n$ : $\|Dx\| \le (\max_i |\lambda_i|) \cdot \|x\|$.

Soit $A\in M(n,\Cc)$ diagonalisable et $\lambda_1, \ldots,\lambda_n$ ses valeurs propres. Soit $\alpha = \max_i \Re \lambda_i$. Montrer qu’il existe une constante $K>0$ telle que $\forall x\in \Cc^n$, $\forall t\in [0,\infty[$ : $\|e^{tA}x\| \le K e^{\alpha t} \|x\|$.

Soit $A\in M(n,\Rr)$ diagonalisable sur $\Cc$ et $\lambda_1, \ldots,\lambda_n$ ses valeurs propres (attention, ici $A$ est à coefficients réels). Soit en plus $\alpha = \max_i \Re \lambda_i$ strictement inférieur à 0. Déduire de ce qui précède que si $\varphi(t)$ est solution de l’équation (*), alors $\lim_{t\to \infty} \varphi(t) = 0$.