On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
1
Montrer que, \(x_0\neq 0\) et \(x_0'\) étant donnés dans \(\mathbb{R}\), il existe une unique solution \(\varphi\) définie au voisinage de \(0\), telle que \(\varphi(0)=x_0\) et \(\varphi'(0)=x_0'\).
2
Si de plus \(x_0' \neq 0\), on peut supposer que \(\varphi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme d’un voisinage de \(0\) sur un voisinage de \(x_0\) (pourquoi ?); on note \(\psi\) l’application réciproque et on pose \(z(x)=\varphi'(\psi(x))\). Calculez \(z'(x)\), trouver l’équationb satisfaite par \(z\) et expliciter \(z\); en déduire une expression de \(\varphi\).
3
Quelle est la solution \(\varphi\) de léquation telle que \(\varphi(0)=x_0\neq 0\) et \(\varphi'(0)=0\).