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Montrer que, $x_0\neq 0$ et $x_0'$ étant donnés dans $\mathbb{R}$, il existe une unique solution $\varphi$ définie au voisinage de $0$, telle que $\varphi(0)=x_0$ et $\varphi'(0)=x_0'$.

Si de plus $x_0' \neq 0$, on peut supposer que $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme d’un voisinage de $0$ sur un voisinage de $x_0$ (pourquoi ?); on note $\psi$ l’application réciproque et on pose $z(x)=\varphi'(\psi(x))$. Calculez $z'(x)$, trouver l’équationb satisfaite par $z$ et expliciter $z$; en déduire une expression de $\varphi$.

Quelle est la solution $\varphi$ de léquation telle que $\varphi(0)=x_0\neq 0$ et $\varphi'(0)=0$.