On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où \(f\) est une fonction continue sur \({\Rr}\) tout entier.
On suppose que \(f\) est un polynôme de degré \(n\). On note \(E\) l’espace vectoriel des polynômes réels de degré \(\leq n\). Montrer que l’application \(u\), définie sur \(E\) par \(u(P) = P''+ P\), est une application injective de \(E\) dans lui-même.
En déduire que l’équation (\(\cal E\)) a une et une seule solution polynômiale \(g\) qui est de même degré que \(f\).
On suppose maintenant que \(f\) est une fonction continue quelconque sur \({\Rr}\). Montrer que la fonction \[\int_0^x f(t) \sin(x-t) \ dt\] est une solution particulière de (\(\cal E\)); en déduire la solution générale de l’équation.
Montrer que si \(f\) vérifie l’inégalité \(f(t) \leq {1\over{1+t^2}}\) pour tout \(t\in {\Rr}\), toutes les solutions de (\(\cal E\)) sont des fonctions bornées. A-t-on la même conclusion si la fonction \(f\) est seulement bornée sur \({\Rr}\)?