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On suppose que $f$ est un polynôme de degré $n$. On note $E$ l’espace vectoriel des polynômes réels de degré $\leq n$. Montrer que l’application $u$, définie sur $E$ par $u(P) = P''+ P$, est une application injective de $E$ dans lui-même.

En déduire que l’équation ($\cal E$) a une et une seule solution polynômiale $g$ qui est de même degré que $f$.

On suppose maintenant que $f$ est une fonction continue quelconque sur ${\Rr}$. Montrer que la fonction $$\int_0^x f(t) \sin(x-t) \ dt$$ est une solution particulière de ($\cal E$); en déduire la solution générale de l’équation.

Montrer que si $f$ vérifie l’inégalité $f(t) \leq {1\over{1+t^2}}$ pour tout $t\in {\Rr}$, toutes les solutions de ($\cal E$) sont des fonctions bornées. A-t-on la même conclusion si la fonction $f$ est seulement bornée sur ${\Rr}$?