On considère les deux équations différentielles du second ordre \[({\cal E}_1)\quad\quad y''=\sin x\qquad({\cal E}_2)\quad\quad y''+ \omega^2y= \sin x\] où \(\omega\) est un nombre réel de module strictement inférieur à \(1\).
Trouver la solution \(y\) de l’équation \({\cal E}_1\) vérifiant \(y(0)=0,\ y(\pi)=4\pi.\)
Décrire la solution générale de l’équation \({\cal E}_2\), et prouver ainsi que la solution \(y_\omega\) vérifiant \(y_\omega(0)=0,\ y_\omega(\pi)=4\pi\), a pour expression \[y_\omega(x)=4\pi{{\sin\omega x}\over{\sin\pi\omega}}- {{\sin x}\over{1-\omega^2}}.\]
Trouver, à \(x\) fixé, la limite de \(y_\omega(x)\) quand \(\omega\) tend vers \(0\). Interprétation.
On restreint \(x\) à parcourir l’intervalle \([0,\pi]\), et on suppose \(0\leq\omega\leq{1\over2}\). A l’aide de la formule de Taylor,
montrer que \(\vert \pi\sin\omega x-x\sin\pi\omega\vert\leq\pi^3\omega^3\). En déduire : \(\vert y_\omega(x)-y(x)\vert \leq A\omega^2\), où \(A\) est une constante.