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Trouver la solution $y$ de l’équation ${\cal E}_1$ vérifiant $y(0)=0,\ y(\pi)=4\pi.$

Décrire la solution générale de l’équation ${\cal E}_2$, et prouver ainsi que la solution $y_\omega$ vérifiant $y_\omega(0)=0,\ y_\omega(\pi)=4\pi$, a pour expression $$y_\omega(x)=4\pi{{\sin\omega x}\over{\sin\pi\omega}}- {{\sin x}\over{1-\omega^2}}.$$

Trouver, à $x$ fixé, la limite de $y_\omega(x)$ quand $\omega$ tend vers $0$. Interprétation.

On restreint $x$ à parcourir l’intervalle $[0,\pi]$, et on suppose $0\leq\omega\leq{1\over2}$. A l’aide de la formule de Taylor,

montrer que $\vert \pi\sin\omega x-x\sin\pi\omega\vert\leq\pi^3\omega^3$. En déduire : $\vert y_\omega(x)-y(x)\vert \leq A\omega^2$, où $A$ est une constante.