L3 Equation différentielle Solution maximale Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 6324

Soit f:R2→Rf: \Rr ^2 \to \Rr donnée par f(t,x)=4t3xt4+x2f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2} si (t,x)≠(0,0)(t,x) \neq (0,0) et f(0,0)=0f(0,0)=0. On s’intéresse à l’équation différentielle x′(t)=f(t,x(t))    .\begin{equation} \label{eq 1} x'(t) = f(t,x(t)) \;\; . \end{equation}

1

L’application ff, est-elle continue et/ou localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable? Que peut-on en déduire pour l’équation ([eq 1])?

2

Soit φ\varphi une solution de ([eq 1]) qui est définie sur un intervalle II ne contenant pas 00. On définit une application ψ\psi par φ(t)=t2ψ(t)\varphi (t) = t^2 \psi (t), t∈It\in I. Déterminer une équation différentielle ([eq 1]’) telle que ψ\psi soit solution de cette équation, puis résoudre cette équation ([eq 1]’).

3

Que peut-on en déduire pour l’existence et l’unicité des solutions de l’équation différentielle ([eq 1]) avec donnée initiale (t0,x0))=(0,0)(t_0,x_0)) = (0,0)?

Exercice Ejbq

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