Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si \((t,x) \neq (0,0)\) et \(f(0,0)=0\). On s’intéresse à l’équation différentielle \[\begin{equation} \label{eq 1} x'(t) = f(t,x(t)) \;\; . \end{equation}\]
L’application \(f\), est-elle continue et/ou localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable? Que peut-on en déduire pour l’équation ([eq 1])?
Soit \(\varphi\) une solution de ([eq 1]) qui est définie sur un intervalle \(I\) ne contenant pas \(0\). On définit une application \(\psi\) par \(\varphi (t) = t^2 \psi (t)\), \(t\in I\). Déterminer une équation différentielle ([eq 1]’) telle que \(\psi\) soit solution de cette équation, puis résoudre cette équation ([eq 1]’).
Que peut-on en déduire pour l’existence et l’unicité des solutions de l’équation différentielle ([eq 1]) avec donnée initiale \((t_0,x_0)) = (0,0)\)?