L3 Equation différentielle Solution maximale Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 2561

Soit l’équation différentielle x′′′−xx′′=0x'''-xx''=0 où xx est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de R\mathbb{R} et à valeurs dans R\mathbb{R}.

1

Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)), où ff est une application que l’on déterminera.

2

Soient t0,a,b,c∈Rt_0, a, b, c \in \mathbb{R}. Montrer qu’il existe une unique solution maximale φ\varphi de l’équation (3)(3) qui satisfasse aux conditions initiales φ(t0)=a,φ′(t0) et φ′′(t0)=c.\varphi(t_0)=a, \varphi'(t_0) \mbox{ et } \varphi''(t_0)=c.

3

Soit φ\varphi une telle solution maximale. Calculer la dérivée de la fonction t→φ′′(t)exp(−∫t0tφ(u)du)t \rightarrow \varphi''(t)exp\left(- \int_{t_0}^t \varphi(u)du \right) En déduire que la fonction φ\varphi est soit convexe, soit concave sur son intervalle de définition. Déterminer φ\varphi dans le cas où φ′′(t0)=0\varphi''(t_0)=0.

Exercice fol5

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