Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique \(y'(t)=f(t,y(t))\), où \(f\) est une application que l’on déterminera.
Soient \(t_0, a, b, c \in \mathbb{R}\). Montrer qu’il existe une unique solution maximale \(\varphi\) de l’équation \((3)\) qui satisfasse aux conditions initiales \[\varphi(t_0)=a, \varphi'(t_0) \mbox{ et } \varphi''(t_0)=c.\]
Soit \(\varphi\) une telle solution maximale. Calculer la dérivée de la fonction \[t \rightarrow \varphi''(t)exp\left(- \int_{t_0}^t \varphi(u)du \right)\] En déduire que la fonction \(\varphi\) est soit convexe, soit concave sur son intervalle de définition. Déterminer \(\varphi\) dans le cas où \(\varphi''(t_0)=0\).