On considère l’équation \[x'=3x^{2/3} \mbox{ :} (1)\] avec condition initiale \(x(0)=0\).
1
Soit \(\varphi\) une solution de \((1)\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\varphi(0)=0\); on pose \(\lambda=\inf \{ t \leq 0; \varphi(t)=0\} \leq +\infty\). Montrez que \(\varphi\) est identiquement nulle sur \((\lambda,\mu)\).
2
Montrer que \(\varphi\) vaut \((t-\lambda)^3\) si \(t\leq \lambda\), \(0\) sur \([\lambda, \mu]\) et \((t-\mu)^3\) si \(t \geq \mu\); en déduire toutes les solutions maximales de \((1)\) définies sur \(\mathbb{R}\) avec \(x(0)=0\).