Soit \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) donnée par \(f(t,x)=4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si \((t,x)\neq (0,0)\) et \(f(0,0)=0\). On s’interesse à l’équation différentielle \[x'(t)=f(t,x(t)).\]
L’application \(f\), est-elle continue ? est-elle localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable ? Que peut-on en déduire pour l’équation \((2)\) ?
Soit \(\varphi\) une solution de \((2)\) qui est définie sur un intervalle \(I\) ne contenant pas \(0\). On définit une application \(psi\) par \(\varphi(t)=t^2\psi(t), t\in I\). Déterminer une équation différentielle \((E)\) telle que \(\psi\) soit solution de cette équation, puis résoudre cette équation \((E)\).
Que peut-on en déduire pour l’existence et l’unicité de l’équation différentielle \((2)\) avec donnée initiale \((t_0,x_0)=(0,0)\)