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Soit $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ donnée par $f(t,x)=4\frac{t^3x}{t^4+x^2}$ si $(t,x)\neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$ . On s’interesse à l’équation différentielle $x'(t)=f(t,x(t)).$

L’application $f$ , est-elle continue ? est-elle localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable ? Que peut-on en déduire pour l’équation $(2)$ ?

Soit $\varphi$ une solution de $(2)$ qui est définie sur un intervalle $I$ ne contenant pas $0$ . On définit une application $psi$ par $\varphi(t)=t^2\psi(t), t\in I$ . Déterminer une équation différentielle $(E)$ telle que $\psi$ soit solution de cette équation, puis résoudre cette équation $(E)$ .

Que peut-on en déduire pour l’existence et l’unicité de l’équation différentielle $(2)$ avec donnée initiale $(t_0,x_0)=(0,0)$

exo7 2560

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