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En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :

(i) $x'(t)=ax(t)+b;\ x(0)=0.$

(ii) $x'(t)=\sin x(t);\ x(0)=0.$

Soit $A$ une matrice $n\times n$ constante. Trouver par la méthode de Picard la solution de $X'(t)=A\ X(t); X(0)=X_0$; retrouver ainsi la solution de

$x''(t)=- x(t);\ x(0)=0, x'(0)=1$.

Soit cette fois $A(t)$ une famille de matrices $n\times n$ de fonctions continues, telle que pour $s,t$, on ait $A(s)A(t)=A(t)A(s)$. Trouver la solution de l’équation $X'(t)=A\ X(t); X(0)=X_0$ (on montrera que $B(s)B(t)=B(t)B(s)$ où $B(t)=\int_0^tA(u)\ du$).