1
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) \(x'(t)=ax(t)+b;\ x(0)=0.\)
(ii) \(x'(t)=\sin x(t);\ x(0)=0.\)
2
Soit \(A\) une matrice \(n\times n\) constante. Trouver par la méthode de Picard la solution de \(X'(t)=A\ X(t); X(0)=X_0\); retrouver ainsi la solution de
\(x''(t)=- x(t);\ x(0)=0, x'(0)=1\).
3
Soit cette fois \(A(t)\) une famille de matrices \(n\times n\) de fonctions continues, telle que pour \(s,t\), on ait \(A(s)A(t)=A(t)A(s)\). Trouver la solution de l’équation \(X'(t)=A\ X(t); X(0)=X_0\) (on montrera que \(B(s)B(t)=B(t)B(s)\) où \(B(t)=\int_0^tA(u)\ du\)).