Soit l’équation différentielle \[\begin{equation} \label{eq 10} x''' - x x'' =0 \; \; . \end{equation}\] où \(x\) est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de \(\Rr\) et à valeurs dans \(\Rr\).
Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique \[y'(t) = f(t,y(t)) \; ,\] où \(f\) est une application que l’on déterminera.
Soient \(t_0, a,b,c\in \Rr\). Montrer qu’il existe une unique solution maximale \(\varphi\) de l’équation ([eq 10]) qui satisfasse aux conditions initiales \[\varphi (t_0) =a \; , \; \varphi ' (t_0)= b \;\; et \;\; \varphi '' (t_0) =c\; .\]
Soit \(\varphi\) une telle solution maximale. Calculer la dérivée de la fonction \[t\mapsto \varphi ''(t) \exp\left( -\int _a ^t \varphi (u) \, du \right)\; .\] En déduire que la fonction \(\varphi\) est soit convexe, soit concave sur son intervalle de définition. Déterminer \(\varphi\) dans le cas où \(\varphi ''(a)=0\).