L3 Equation différentielle Solution maximale Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPI 3 questions

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Soit l’équation différentielle x′′′−xx′′=0    .\begin{equation} \label{eq 10} x''' - x x'' =0 \; \; . \end{equation} où xx est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de R\Rr et à valeurs dans R\Rr.

1

Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique y′(t)=f(t,y(t))  ,y'(t) = f(t,y(t)) \; , où ff est une application que l’on déterminera.

2

Soient t0,a,b,c∈Rt_0, a,b,c\in \Rr. Montrer qu’il existe une unique solution maximale φ\varphi de l’équation ([eq 10]) qui satisfasse aux conditions initiales φ(t0)=a  ,  φ′(t0)=b    et    φ′′(t0)=c  .\varphi (t_0) =a \; , \; \varphi ' (t_0)= b \;\; et \;\; \varphi '' (t_0) =c\; .

3

Soit φ\varphi une telle solution maximale. Calculer la dérivée de la fonction t↦φ′′(t)exp⁡(−∫atφ(u) du)  .t\mapsto \varphi ''(t) \exp\left( -\int _a ^t \varphi (u) \, du \right)\; . En déduire que la fonction φ\varphi est soit convexe, soit concave sur son intervalle de définition. Déterminer φ\varphi dans le cas où φ′′(a)=0\varphi ''(a)=0.

Exercice UFz1

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