Soit \(f:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) telle que \(f(t,x)=|x|+|t|\). \(f\) est continue et Lipschitzienne par rapport à la seconde variable. En effet, \[|f(t,x)-f(t,y)|=||x|-|y||\leq |x-y|.\] Remarquons que \(x' \geq 0\) pour tout \(t\) et que pour tout point \((0,x_0\) passe une solution maximale unique \((\varphi,J)\). Prenons \(x_0=1\), lorque \(t\geq 0\); l’équation devient \[x't()=x(t)+t\] car \(|t|=t\) et \(x(t) \geq x(0) > 0, x(0)=1\). Elle admet comme solution sur \([0,+\infty[\) avec \(\varphi(0)=1\) \[\varphi(t)=2e^t-t-1.\] Lorsque \(t<0\), on distingue deux cas: premier cas \(x(t)\geq0\); \(x'=-t+x(t)\) et alors \(x(t)=ce^t+t+1\) avec \(x(0)=1\) d’où \(c=0\) et \(\varphi(t)=t+1\). Cela n’est valable que lorsque \(\varphi(t) \geq 0\), c’est à dire \(t \geq 1\). Donc \(\varphi(t)=t+1\) sur \([-1,1]\). Deuxième cas: \(x(t) \leq 0\), ceci a lieu lorsque \(t \leq -1\) car \(\varphi\) croissante et \(\varphi(-1)=0\). Nous avons alors \(\varphi'(t)=-t-\varphi(t)\). D’où \(\varphi(t)=ce^{-t}-t+1\) or \(\varphi(-1)=ce+2=0\) d’où \(c=-2e^{-1}\) et \(\varphi(t)=-2e^{-t+1}-t+1\) sur \(]-\infty,-1]\). La solution maximale vérifiant \(\varphi(0)=1\) est la suivante: \[\varphi(t)= \left( \begin{array}{c} 2e^t-t-1 \mbox{ sur } [0,+\infty[ \\ t+1 \mbox{ sur } [-1,0] \\ -2e^{-(t+1)}-t+1 \mbox{ sur } ]-\infty,-1] \end{array} \right)\] \[\varphi'(t)= \left( \begin{array}{c} 2e^t-1 \mbox{ sur } ]0,+\infty[ \\ 1 \mbox{ sur } ]-1,0[ \\ 2e^{-(t+1)}-1 \mbox{ sur } ]-\infty,-1[ \end{array} \right)\] En étudiant les limites de \(\varphi'\) aux point \(0\) et \(-1\), on voit que \(\varphi'\) est continue sur \(\mathbb{R}\). \[\varphi''(t)= \left( \begin{array}{c} 2e^t \mbox{ sur } ]0,+\infty[ \\ 0 \mbox{ sur } ]-1,0[ \\ -2e^{-(t+1)} \mbox{ sur } ]-\infty,-1[ \end{array} \right)\] \(\varphi\) n’est donc pas deux fois dérivable en \(0\) et \(-1\).

exo7 2559