Soit $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f(t,x)=|x|+|t|$ . $f$ est continue et Lipschitzienne par rapport à la seconde variable. En effet, $|f(t,x)-f(t,y)|=||x|-|y||\leq |x-y|.$ Remarquons que $x' \geq 0$ pour tout $t$ et que pour tout point $(0,x_0$ passe une solution maximale unique $\varphi(0)=x_0$ . Prenons $x_0=1$ , lorque $t\geq 0$ ; l’équation devient $x't()=x(t)+t$ car $|t|=t$ et $x(t) \geq x(0) > 0, x(0)=1$ . Elle admet comme solution sur $[0,+\infty[$ avec $\varphi(0)=1$ $\varphi(t)=2e^t-t-1.$ Lorsque $t<0$ , on distingue deux cas: premier cas $x(t)\geq0$ ; $x'=-t+x(t)$ et alors $x(t)=ce^t+t+1$ avec $x(0)=1$ d’où $c=0$ et $\varphi(t)=t+1$ . Cela n’est valable que lorsque $\varphi(t) \geq 0$ , c’est à dire $t \geq 1$ . Donc $\varphi(t)=t+1$ sur $[-1,1]$ . Deuxième cas: $x(t) \leq 0$ , ceci a lieu lorsque $t \leq -1$ car $\varphi$ croissante et $\varphi(-1)=0$ . Nous avons alors $\varphi'(t)=-t-\varphi(t)$ . D’où $\varphi(t)=ce^{-t}-t+1$ or $\varphi(-1)=ce+2=0$ d’où $c=-2e^{-1}$ et $\varphi(t)=-2e^{-t+1}-t+1$ sur $]-\infty,-1]$ . La solution maximale vérifiant $\varphi(0)=1$ est la suivante: $\varphi(t)= \left( \begin{array}{c} 2e^t-t-1 \mbox{ sur } [0,+\infty[ \\ t+1 \mbox{ sur } [-1,0] \\ -2e^{-(t+1)}-t+1 \mbox{ sur } ]-\infty,-1] \end{array} \right)$ $\varphi'(t)= \left( \begin{array}{c} 2e^t-1 \mbox{ sur } ]0,+\infty[ \\ 1 \mbox{ sur } ]-1,0[ \\ 2e^{-(t+1)}-1 \mbox{ sur } ]-\infty,-1[ \end{array} \right)$ En étudiant les limites de $\varphi'$ aux point $0$ et $-1$ , on voit que $\varphi'$ est continue sur $\mathbb{R}$ . $\varphi''(t)= \left( \begin{array}{c} 2e^t \mbox{ sur } ]0,+\infty[ \\ 0 \mbox{ sur } ]-1,0[ \\ -2e^{-(t+1)} \mbox{ sur } ]-\infty,-1[ \end{array} \right)$ $\varphi$ n’est donc pas deux fois dérivable en $0$ et $-1$ .

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