On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation \[y_0(x)=1,\quad y_n(x)=1+\int_0^x (y_{n-1}(t))^2 dt.\]
1
On suppose d’abord \(x\in [0,1[\). Montrer que la suite \((y_n)\) est croissante et majorée par \({1\over 1-x}\). En déduire que \(y_n\) tend, quand \(n\to\infty\), vers une limite qui est la solution de l’équation différentielle \(y'=y^2\) valant \(1\) en \(0\).
2
Si \(-1<x\leq0\), montrer que \((y_{2n})\) et \((y_{2n+1})\) sont des suites adjacentes, telles que, pour \(n\geq1\), \({1\over 1-x}\leq y_{2n}\leq1\) et \(1+x\leq y_{2n+1}\leq {1\over 1-x}\); retrouver la solution de l’équation sur \(]-1,1[\) valant \(1\) en \(0\).