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Soit $f(x,y) = x\ln x - y\ln y$ $(x,y > 0)$ .

Pour $k \in \R$ , on considère la courbe $\mathcal{C}_k$ d’équation $f(x,y) = k$ .

Suivant la position de $(a,b) \in \mathcal{C}_k$ , préciser l’orientation de la tangente à $\mathcal{C}_k$ en $(a,b)$ .

Dresser le tableau de variations de $\phi(t) = t\ln t$ .

Dessiner $\mathcal{C}_0$ . (Étudier en particulier les points $(0,1), (1,0)$ et $\Bigl(\frac 1e,\frac 1e\Bigr)$ à l’aide de DL)

Indiquer l’allure générale des courbes $\mathcal{C}_k$ suivant le signe de $k$ .