Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour \(k \in \R\), on considère la courbe \(\mathcal{C}_k\) d’équation \(f(x,y) = k\).
1
Suivant la position de \((a,b) \in \mathcal{C}_k\), préciser l’orientation de la tangente à \(\mathcal{C}_k\) en \((a,b)\).
2
Dresser le tableau de variations de \(\phi(t) = t\ln t\).
3
Dessiner \(\mathcal{C}_0\). (Étudier en particulier les points \((0,1), (1,0)\) et \(\Bigl(\frac 1e,\frac 1e\Bigr)\) à l’aide de DL)
4
Indiquer l’allure générale des courbes \(\mathcal{C}_k\) suivant le signe de \(k\).