L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 10 questions

Question d'optimisation

Soit la fonction ff définie sur D⊂R2\mathcal{D} \subset \R^2 par f(x,y)=y2−x2y+x2f(x,y) = y^2-x^2y+x^2 où D={(x,y)∈R2 , x2−1≤y≤1−x2}\mathcal{D} = \{ (x,y) \in \R^2 \, , \, x^2-1 \leq y \leq 1-x^2\}.

1

Parmi les trois domaines représentés graphiquement ci-dessus, lequel est susceptible de représenter D\mathcal{D} ?

Diagramme TikZ 1

Diagramme TikZ 2

Diagramme TikZ 3

2

L’ensemble D\mathcal{D} est-il ouvert dans R2\R^2 ? fermé dans R2\R^2 ? Justifier très brièvement.

3

Justifier que ff admet un maximum global et un minimum global sur D\mathcal{D}.

4

Vérifier que (0,0)(0,0) est l’unique point critique de ff dans l’intérieur du domaine D\mathcal{D}.

5

La fonction ff admet-elle un extremum local sur l’intérieur de D\mathcal{D} ?

6

Pour tout x∈[−1;1]x \in [-1;1], on pose g(x)=f(x,1−x2)g(x) = f(x,1-x^2) et h(x)=f(x,x2−1)h(x) = f(x,x^2-1).

7

Simplifier les expressions de g(x)g(x) et h(x)h(x).

8

Étudier les variations des fonctions gg et hh sur l’intervalle [−1;1][-1;1].

9

En déduire l’existence et le calcul d’un minimum et d’un maximum de la fonction ff sur le bord de D\mathcal{D}.

10

En déduire la valeur du minimum global de ff sur D\mathcal{D} et la valeur du maximum global de ff sur D\mathcal{D}.

Exercice krLE

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?