Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par \[f(x,y) = y^2-x^2y+x^2\] où \(\mathcal{D} = \{ (x,y) \in \R^2 \, , \, x^2-1 \leq y \leq 1-x^2\}\).
Parmi les trois domaines représentés graphiquement ci-dessus, lequel est susceptible de représenter \(\mathcal{D}\) ?
L’ensemble \(\mathcal{D}\) est-il ouvert dans \(\R^2\) ? fermé dans \(\R^2\) ? Justifier très brièvement.
Justifier que \(f\) admet un maximum global et un minimum global sur \(\mathcal{D}\).
Vérifier que \((0,0)\) est l’unique point critique de \(f\) dans l’intérieur du domaine \(\mathcal{D}\).
La fonction \(f\) admet-elle un extremum local sur l’intérieur de \(\mathcal{D}\) ?
Pour tout \(x \in [-1;1]\), on pose \(g(x) = f(x,1-x^2)\) et \(h(x) = f(x,x^2-1)\).
Simplifier les expressions de \(g(x)\) et \(h(x)\).
Étudier les variations des fonctions \(g\) et \(h\) sur l’intervalle \([-1;1]\).
En déduire l’existence et le calcul d’un minimum et d’un maximum de la fonction \(f\) sur le bord de \(\mathcal{D}\).
En déduire la valeur du minimum global de \(f\) sur \(\mathcal{D}\) et la valeur du maximum global de \(f\) sur \(\mathcal{D}\).