On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur \(h\) varient au cours du temps \(t\).
A l’instant \(t_0\), les dimensions de la boîte sont \(\ell = 1\) m, \(w=h=2\) m. A ce même instant, on sait que \(\ell\) et \(w\) augmentent de \(2\)m/s et \(h\) diminue de \(3\)m/s.
On note \(V\) le volume, \(S\) la surface et \(D\) la longueur de la diagonale de cette boîte.
Exprimer \(V\), \(S\) et \(D\) comme fonction des trois variables \(\ell\), \(w\), \(h\).
Exprimer \(\dfrac{\partial D}{\partial h}(\ell,w,h)\).
Que valent \(\ell'(t_0)\), \(w'(t_0)\), \(h'(t_0)\) ?
On pose \(\tilde{V}(t) = V(\ell(t),w(t),h(t))\). Exprimer \(\frac{\partial V}{\partial \ell}\), \(\frac{\partial V}{\partial w}\) et \(\frac{\partial V}{\partial h}\) puis en calculant une dérivée partielle, déterminer les taux de variations à l’instant \(t_0\) du volume, de la surface et de la diagonale de cette boîte.