On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : \[f(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2\]
1
Montrer qu’il existe \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}_+^2\) (et les déterminer) tels que \[f(x, y) \geq \alpha \|(x, y)\|^2 + \beta\] pour tous \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), où \(\|(x, y)\|\) désigne la norme euclidienne de \(\mathbb{R}^2\). En déduire que le problème \[\inf_{(x,y) \in \mathbb{R}^2} f(x, y)\] possède au moins une solution.
2
La fonction \(f\) est-elle convexe sur \(\mathbb{R}^2\) ?
3
Déterminer les points critiques de \(f\), et préciser leur nature (minimum local, maximum local, point-selle, etc.). Résoudre alors le problème d’optimisation.