On calcule les dérivées partielles : \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y(2x+y-1), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x(2y+x-1).\] On résout \(\nabla f = 0\) :

\(x = 0 \Rightarrow y = 0\) ou \(y = 1\) ;
\(y = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = 1\) ;
\(x \neq 0\) et \(y \neq 0\) : le système \(2x+y-1=0\), \(x+2y-1=0\) donne \(x = y = \tfrac{1}{3}\).

Les points critiques sont \((0,0)\), \((0,1)\), \((1,0)\) et \(\bigl(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\bigr)\).

Les dérivées secondes sont : \[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x+2y-1.\]

En \((0,0)\) : \(\Delta_f(0,0) = -1 < 0\) \(\Rightarrow\) point selle.
En \((0,1)\) : \(\Delta_f(0,1) = -1 < 0\) \(\Rightarrow\) point selle.
En \((1,0)\) : \(\Delta_f(1,0) = -1 < 0\) \(\Rightarrow\) point selle.
En \(\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr)\) : \(\Delta_f = \tfrac{1}{3} > 0\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \tfrac{2}{3} > 0\) \(\Rightarrow\) minimum local.

Conclusion : \((0,0)\), \((0,1)\), \((1,0)\) sont des points selles et \(\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr)\) est un minimum local.

Points critiques et extremums locaux